Question

如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，且平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點．
（1）求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求異面直線ME 與 BN 所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）連結(jié)MD，則ND⊥平面ABCD，∠DMN是直線MN與面ABCD所成角，由此能求出直線MN與平面ABCD所成角的正弦值．
（2）在CD的延長線上取點G，使DG=DC，再以DG為公共邊作正方形DGUA及DGVF，H，K分別為GV，NH的中點，連結(jié)MK，EK，四邊形BMKN為平行四邊形，從而∠EMK為異面直線BN與ME所成角，由此利用余弦定理能求出異面直線ME與BN所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，連結(jié)MD，
∵平面ABCD⊥平面DCEF，ND⊥CD，ND?平面DCEF，
面ABCD∩平面DCEF=CD，
∴ND⊥平面ABCD，
∴∠DMN是直線MN與面ABCD所成角，
設(shè)CD=a，則ND=

a

2

，MN=

6

2

a，
∴sin∠DMN=

6

6

．
∴直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為

6

6

．
（2）如圖，在CD的延長線上取點G，使DG=DC，
再以DG為公共邊作正方形DGUA及DGVF，
H，K分別為GV，NH的中點，連結(jié)MK，EK，
∵NK∥CD，NK=

1

2

CD，
∴四邊形BMKN為平行四邊形，
∴BN∥MK，∴∠EMK為異面直線BN與ME所成角，
設(shè)CD=a，則ME=BN=MK=

3

2

a，EK=

10

2

a，
由余弦定理，得cos∠EMK=

9 4 a2+ 9 4 a2- 10 4 a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

4

9

，
∴異面直線ME與BN所成角的余弦值為

4

9

．

點評：本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．