Question

18．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若在區(qū)間$[\frac{1}{3}，3]$內(nèi)，曲線g（x）=f（x）-ax與x軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{2e}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{1}{2e}）$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=|lnx|的圖象，然后，借助于圖象，結(jié)合在區(qū)間$[\frac{1}{3}，3]$上有三個零點，進(jìn)行判斷．

解答 解：函數(shù)y=|lnx|的圖象如圖示：
當(dāng)a≤0時，顯然，不合乎題意，
當(dāng)a＞0時，如圖示，

當(dāng)x∈（$\frac{1}{3}$，1]時，存在一個零點，
當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）為增函數(shù)，
此時f（x）必須在[1，3]上有兩個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
在區(qū)間（0，3]上有三個零點時，
實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故選：A．

點評 本題重點考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題，難度中等．