Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=-3t+2 y=4t

（t為參數(shù)），P為C₁上的動點(diǎn)，Q為線段OP的中點(diǎn)．
①求點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程；
②在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸（兩坐標(biāo)系取相同的長度單位）的極坐標(biāo)系中，N為曲線p=2sinθ上的動點(diǎn)，M為C₂與x軸的交點(diǎn)，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得P（2x，2y），且

2x=-3t+2 2y=4t

，由此可得點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程．
②由題意可得，點(diǎn)M（1，0），曲線p=2sinθ化為直角坐標(biāo)方程，表示以A（0，1）為圓心、半徑為1的圓．
則|MN|的最大值即為|AM|+1．

解答： 解：①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得P（2x，2y），∴

2x=-3t+2 2y=4t

，
即

x=- 3 2 t+1 y=2t

 （t為參數(shù)）．
②由題意可得，點(diǎn)M（1，0），曲線p=2sinθ的直角坐標(biāo)方程為 x²+（y-1）²=1，
表示以A（0，1）為圓心、半徑為1的圓．
由于|AM|=

2

，∴|MN|的最大值為1+

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求點(diǎn)的軌跡方程，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．