Question

a

，

b

為非零不共線向量，定義

a

×

b

為一個向量，其大小為|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，方向與

a

，

b

都垂直，且

a

，

b

，

a

×

b

的方向依次構(gòu)成右手系（即右手拇指，食指分別代表

a

，

b

的方向，中指與拇指、食指的平面垂直且指向掌心代表

a

×

b

的方向），則下列說法中正確結(jié)論的序號有

 

．
①（

a

×

b

）•

a

=0
②（

a

×

b

）×

c

=

a

×（

b

×

c

）
③正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，則(

AB

×

AD

)•

AA1

=1
④三棱錐A-BCD中，|（

AB

×

AC

）•

AD

|的值恰好是他的體積的6倍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：新定義,轉(zhuǎn)化思想,平面向量及應(yīng)用

分析：①由已知，（

a

×

b

）⊥

a

=0，所以（

a

×

b

）•

a

=0，故正確，
②取特例驗證，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，設(shè)

a

=

AB

，

b

=

AD

，

c

=

AC

．通過計算判斷，
③

AB

×

AD

=

A1A

，

A1A

與

AA1

夾角為180°，得出|(

AB

×

AD

)•

AA1

|=0，故錯誤
④三棱錐A-BCD的體積等于V=

1

3

S△_ABC×h，利用向量投影求出h，分別計算兩邊，進行判斷．

解答： 解：①由已知，（

a

×

b

）⊥

a

=0，所以（

a

×

b

）•

a

=0，故正確，
②如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，設(shè)

a

=

AB

，

b

=

AD

，

c

=

AC

．
則

a

×

b

=

A1A

，|（

a

×

b

）×

c

|=1×

2

×sin90°=

2

，
|

b

×

c

|=1×

2

×sin45°=1，|

a

×（

b

×

c

）|=1×1×sin90°=1，
∵|（

a

×

b

）×

c

|≠|(zhì)

a

×（

b

×

c

）|，∴②錯誤
③如圖，

AB

×

AD

=

A1A

，

A1A

與

AA1

夾角為180°，|(

AB

×

AD

)•

AA1

|=0，則(

AB

×

AD

)•

AA1

=

0

，故錯誤
④三棱錐A-BCD中，設(shè)

m

=

AB

×

AC

，則

m

是平面ABC的一個法向量，且|

m

|=AB×AC×sinA．
設(shè)＜

m

，

AD

＞=θ，則|（

AB

×

AC

）•

AD

|=（AB×AC×sinA）×AD×|cosθ|，
三棱錐A-BCD底面ABC上的高h=AD|cosθ|，
體積V=

1

3

S△_ABC×h=

1

6

×（AB×AC×sinA）×（AD|cosθ|），
所以|（

AB

×

AC

）•

AD

|的值恰好是他的體積的6倍．故正確．
故答案為：①④．

點評：本題是新定義題目，需要抓住新定義中的本質(zhì)找到解題的關(guān)鍵點，即 的方向和具體位置，根據(jù)圖形和條件作出并加以證明，還需要利用幾何知識和向量數(shù)量積的運算進行求解，考查分析問題和解決問題的能力．