Question

2．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-ADB₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥平面B₁BCC₁，利用線面垂直的判定，證明CC₁⊥AD，BC⊥AD，即可‘
（Ⅱ）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD，利用OD為△A₁BC中位線，可得A₁B∥OD，利用線面平行的判定，可證A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）轉(zhuǎn)換底面，利用棱錐的體積公式，即可求三棱錐C₁-ADB₁的體積．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC
因?yàn)锳D?平面ABC，所以CC₁⊥AD
因?yàn)椤鰽BC是正三角形，D為BC中點(diǎn)，所以BC⊥AD，
因?yàn)镃C₁∩BC=C，所以AD⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線，
所以A₁B∥OD，
因?yàn)锳₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）解：三棱錐C₁-ADB₁的體積=${V}_{A-{C}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•AD$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查線面平行，考查三棱錐體積的計(jì)算，掌握線面垂直、線面平行的判定是關(guān)鍵．