Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，PO⊥AD，O為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的大�。�
（Ⅲ）求直線PB與平面PAD所成的線面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要證PO⊥底面ABCD，只需證明直線PO垂直底面ABCD內(nèi)的兩條相交直線BC、AD即可；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連接PE，說(shuō)明∴∠PEO為二面角P-AD-B的平面角，
解三角形求二面角P-AD-B的大小．
（Ⅲ）取PA、PB的中點(diǎn)M、N，連接BM、CN、DM、MN，
說(shuō)明直線PB與平面PAD所成的線面角為∠BPM，然后求解即可得到
直線PB與平面PAD所成的線面角的大�。�
法二：以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，平面ABCD的法向量為
然后利用向量的數(shù)量積求直線PB與平面PAD所成的線面角的大�。�
（Ⅲ）求出相關(guān)向量，通過(guò)求得
直線PB與平面PAD所成的線面角的大小．
解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵PB=PC=BC，O為BC中點(diǎn)
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，從而BC與AD相交（沒(méi)有說(shuō)明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連接PE，由三垂線定理知PE⊥AD
∴∠PEO為二面角P-AD-B的平面角
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，O為BC中點(diǎn)
∴，，
由等面積法知
∴
∴∠PEO=，即二面角P-AD-B的大小為（或或）

（Ⅲ）取PA、PB的中點(diǎn)M、N，連接BM、CN、DM、MN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC，且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN?平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四邊形MNCD為平行四邊形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BMÌ平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB=AB=2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD，直線PB與平面PAD所成的線面角為∠BPM
在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM=45°

解法二：（Ⅰ）同解法一；
如圖，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，
過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．

（Ⅱ）∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量為
∵A（1，2，0），D（-1，1，0），
∴，
設(shè)平面PAD的法向量為，
由得到，
令x₁=1，則y₁=-2，，即
∴cos＜，＞=
∴二面角P-AD-B的大小為（或或）

（Ⅲ）∵B（1，0，0）
∴
由（Ⅱ）知平面PAD的法向量為
則，即
所以直線PB與平面PAD所成的線面角為90°-45°=45°
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．