已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 數(shù)列{an}滿足an=f（2n）（n∈N*），且a1=2．則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________．

n2n
分析：可根據(jù)an=f（2n）再利用對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到遞推關(guān)系式an+1=2an+2×2n然后兩邊同除以2n+1可構(gòu)造出數(shù)列{}是以為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列后就可解決問(wèn)題了．
解答：由于an=f（2n）則an+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）
∵對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2n，y=2則f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）
∴an+1=2an+2×2n
∴
∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列
∴
∴an=n2n
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用函數(shù)的特征求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是函數(shù)與數(shù)列的綜合題．解題的關(guān)鍵是分別賦予x=2n，y=2得到an+1=2an+2×2n然后構(gòu)造出數(shù)列{}是以為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列后就可求解．同時(shí)要對(duì)遞推關(guān)系式an+1=pan+qn通過(guò)兩邊同除以qn+1構(gòu)造出{}為等差數(shù)列進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f（1-a）+f（2a-3）小于0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）證明函數(shù)a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對(duì)所有f'（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1．若g（x）=f（x）+1-x，則g（2009）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，且f（1）=0，函數(shù)g（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，且g（4）=g（0）=0，則集合{x|f（x）g（x）≥0}=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f(log
12
3)，c=f（0.2-0.6），則a，b，c的大小關(guān)系
a＞b＞c
a＞b＞c
．

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