Question

2．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的零點的集合；
（2）若對于t∈[1，2]時，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若0≤x≤2，求函數(shù)h（x）=2^x[f（x）+a]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）利用零點的定義，f（x）=0即2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$=0，討論x值，去絕對值求解即可；
（2）化簡得：（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）（4^t+1+m）≥0恒成立，根據(jù)t的范圍可得4^t+1+m≥0恒成立，只需求-（4^t+1）的最大值；
（3）整理可得h（x）=2^x[f（x）+a]，構造函數(shù)h（t）=（t+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，利用二次函數(shù)性質，對對稱軸討論求出最小值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）f（x）=0即2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$=0，
當x≥0時，2^x-$\frac{1}{2^x}$=0，去分母得4^x-1=0，∴x=0…（1分）
當x＜0時，2^x-$\frac{1}{{{2^{-x}}}}$=0恒成立，∴x＜0…（3分）
綜上：函數(shù)y=f（x）的零點的集合為{x|x≤0}…（4分）
（2）化簡得：（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）（4^t+1+m）≥0恒成立，
∵t∈[1，2]，
∴：2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，
∴4^t+1+m≥0恒成立，
∴m≥-（4^t+1），
∵-（4^t+1）的最大值為-5，
∴m≥-5；
（3）h（x）=2^x[f（x）+a]
=（2^x）²+a2^x-1，
令t=2^x，1≤t≤4，
∴h（t）=（t+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
當a＜-8時，g（a）=h（4）=4a+15，
當-2＞a≥-8時，g（a）=h（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
當a≥-2時，g（a）=h（1）=a．

點評 考查了函數(shù)零點的定義，恒成立問題和構造函數(shù)求閉區(qū)間二次函數(shù)的最小值．