Question

已知A，B均為銳角，A+B＞

π

2

，求證：對(duì)任意x∈（0，+∞），有f（x）=（

cosA

sinB

）^x+（

cosB

sinA

）^x＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：由已知中A，B均為銳角，A+B＞

π

2

，可得A＞

π

2

-B，B＞

π

2

-A，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得0＜cosA＜sinB，且0＜cosB＜sinA，再由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)證得結(jié)論．

解答： 證明：∵A，B均為銳角，A+B＞

π

2

，
∴A＞

π

2

-B＞0，B＞

π

2

-A＞0，
∴0＜cosA＜cos（

π

2

-B）=sinB，且0＜cosB＜cos（

π

2

-A）=sinA，
∴0＜

cosA

sinB

＜1，且0＜

cosB

sinA

＜1，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
f（x）=（

cosA

sinB

）^x+（

cosB

sinA

）^x＜1+1=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．