Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)，第三項(xiàng)，第四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足對(duì)任意的自然數(shù)n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，從而得到d=2，進(jìn)而求出a_n=2n-1，由等比數(shù)列性質(zhì)得

b1q=3 b1q2=9

，由此能求出b_n=3^n-1．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，c₁=a₂×b₁=3×1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，從而c_n=2b_n=2•3^n-1，由此能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄的值．

解答： 解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，（d＞0）
∵a₁=1，∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=a₂=1+2=3，b₃=a₅=1+8=9，
∴

b1q=3 b1q2=9

，∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3^n-1．
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₁=a₂×b₁=3×1=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄
=3+2（3+3²+3³+…+3²⁰¹³）
=3+2×

3(1-32013)

1-3

=3+3²⁰¹⁴-3
=3²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．