【題目】在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7n mile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55n mile處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40n mile的位置B,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東(其中,)且與點(diǎn)A相距10n mile的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:n mile /h);
(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說(shuō)明理由.
【答案】(I)船的行駛速度為(海里/小時(shí)).(II)船會(huì)進(jìn)入警戒水域.
【解析】
試題(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值,從而可求出船的行駛速度.
(II)判斷船是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,關(guān)鍵是看點(diǎn)E到直線l的距離與半徑7的關(guān)系,因而可求出直線l的方程,以及E點(diǎn)坐標(biāo),然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論.
(I)如圖,AB=40,AC=10,
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為(海里/小時(shí)).
(II)解法一 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1,y2), C(x1,y2),
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有,x1=y1=AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離d=
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.
解法二: 如圖所示,設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
==.
從而
在中,由正弦定理得,AQ=
由于AE=55>40=AQ,所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間,且QE=AE-AQ=15.
過(guò)點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.
在Rt中,PE=QE·sin
=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.7.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中2次的概率:先由計(jì)算器算出0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2表示沒(méi)有擊中目標(biāo),3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因?yàn)樯鋼?次,故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計(jì),該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中2次的概率為( )
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),某地區(qū)植被覆蓋面積公頃與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)之間呈線性相關(guān)關(guān)系,對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下:
公頃 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
根據(jù)中所求線性回歸方程,如果植被覆蓋面積為300公頃,那么下降的氣溫大約是多少?
參考公式:線性回歸方程;其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,θ∈.
(1)求C的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式對(duì)于任意成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=bi(b∈R),是純虛數(shù),i是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)(m+z)2所表示的點(diǎn)在第二象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】孝感市旅游局為了了解雙峰山景點(diǎn)在大眾中的熟知度,從年齡在15~65歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,把這n人按年齡分成5組:第一組[15,25),第二組[25,35),第三組[35,45),第四組[45,55),第五組[55,65],得到的樣本的頻率分布直方圖如右:
調(diào)查問(wèn)題是“雙峰山國(guó)家森林公園是幾A級(jí)旅游景點(diǎn)?”每組中回答正確的人數(shù)及回答正確的人數(shù)占本組的頻率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.
組號(hào) | 分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù)占本組的頻率 |
第1組 | [15,25) | 5 | 0.5 |
第2組 | [25,35) | 18 | x |
第3組 | [35,45) | y | 0.9 |
第4組 | [45,55) | 9 | a |
第5組 | [55,65] | 7 | b |
(1)分別求出n,x,y的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人;
(3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人,求所抽取的兩人來(lái)自不同年齡組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列結(jié)論:
①的單調(diào)遞減區(qū)間;
②當(dāng)時(shí),直線y=k與y=f (x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn);
③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn);
④當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為2.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15
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