Question

已知數(shù)列，，…，，…，S_n為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）按照數(shù)列和的定義計(jì)算即可
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．
解答：解：（1）S₁==，
S₂==，
S₃=S₂+=，
S₄=S₃+=．
推測(cè)S_n=（n∈N*）．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：…（5分）
（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁==，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，
即S_k=，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
S_k+1=S_k+
=+
=
=
=
=
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)一切n∈N*，等式均成立…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟：（1）檢驗(yàn)n=1成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推．