Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（1）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB₁C₁；
（3）求三棱錐A₁-AB₁C₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出AC₁⊥A₁C，A₁C⊥B₁C₁，運(yùn)用線面垂直的判定證明．
（2）E為AB中點(diǎn)，取AB₁中點(diǎn)F，連接EF，ED，F(xiàn)C₁，利用中位線，直線平面的平行定理證明．
（3）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)V A1-AB₁C₁=V B1-AA1C1求解．

解答： 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
∴AC=

3

，C₁C⊥B₁C₁，
∵AA1=

3

∴四邊形ACC₁A₁為正方形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AC，BC，CC₁兩兩垂直，BC∥B₁C₁
∴B₁C₁⊥面ACC₁A₁，
∵A₁C?面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，AC₁⊥A₁C，A₁C⊥B₁C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
解：（2）在棱AB上存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB₁C₁；
E為AB中點(diǎn)，
∵取AB₁中點(diǎn)F，連接EF，ED，F(xiàn)C₁，
∴EF∥BB₁，DC₁∥BB₁，EF=

1

2

BB₁，C₁D=

1

2

BB₁，
∴EF∥DC₁，EF=DC₁
∴四邊形EFCD₁，
∴ED∥FC₁，
∵FC₁?平面AB₁C₁，DE?平面AB₁C₁

∴DE∥平面AB₁C₁；
解：（3）∵B₁C₁⊥面ACC₁A₁，四邊形ACC₁A₁為正方形，AA1=

3

∴V A1-AB₁C₁=V B1-AA1C1=

1

3

×

1

2

×A1C1×AA1×B1C1=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1=

1

2

點(diǎn)評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)定義，直線平面的平行垂直問題，距離，體積的求解，屬于中檔題，難度不大．