Question

已知在如圖的多面體中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=

1

2

BC=2，AE=2，G是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：EG⊥平面BDF；
（3）求此多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AB∥平面DEG；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明EG⊥平面BDF；
（3）根據(jù)多面體的體積公式利用割補(bǔ)法即可求此多面體ABCDEF的體積．

解答： 證明：（1）∵AD∥EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點(diǎn)，
∴AD∥BG，且AD=BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（2）連結(jié)GF，四邊形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG?平面BCFE，
∴DF⊥EG，
∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，
∴四邊形BGFE為菱形，∴BF⊥EG，
又BF∩DF=F，BF?平面BFD，DF?平面BFD，
∴EG⊥平面BDF；                        
（3）V_ABCDEF=V_B-AEFD+V_D-BCF，作BH⊥EF于H，
∵平面AEFD⊥平面BEFC，
∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，
∴CF⊥平面BDF，
BH=

3

，VB-AEFD=

1

3

×

3

×2×2=

4 3

3

，
VD-BCF=VC-BFD=

1

3

×2×

1

2

×2×2

3

=

4 3

3

，
∴VABCDEF=

8

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，以及空間多面體的體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．