Question

11．設(shè)f（x）是定義在R上的導(dǎo)函數(shù)恒大于零的函數(shù)，且滿足$\frac{f（x）}{f'（x）}$+x＜1，則y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 由題意可得[（x-1）f（x）]′＜0，從而可判斷當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）≠0，再檢驗(yàn)f（1）即可．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{f'（x）}$+x＜1，
∴f（x）+f′（x）x＜f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＜0，
∴[（x-1）f（x）]′＜0，
∴函數(shù)y=（x-1）f（x）在R上單調(diào)遞減，
又∵（1-1）f（1）=0，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，（x-1）f（x）≠0，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）≠0，
當(dāng)x=1時(shí)，$\frac{f（1）}{f′（1）}$+1＜1，
∴f（1）＜0；
故y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)（x-1）f（x）．