Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n,已知，且對一切都成立．
（1）若λ = 1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

（1）an=2n-1（2）λ=0.

解析試題分析：（1）本題屬于“已知求”,利用化簡關(guān)系式. 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/83/c/hecsr3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以先分離與，即，這是類等比，利用疊乘法得到，再利用，消去得.求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式時(shí)，需討論當(dāng)n = 1時(shí)是否滿足的情形.（2）解答本題需注意邏輯關(guān)系，由數(shù)列是等差數(shù)列得λ = 0，這是一個(gè)必要條件，還需驗(yàn)證其充分性，即λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.這可類似（1）的解答過程.
試題解析：解：（1）若λ = 1，則，．
又∵， ∴， 2分
∴， 
化簡，得．① 4分
∴當(dāng)時(shí)，．②
② -①，得，∴（）． 6分
∵當(dāng)n = 1時(shí)， ，∴n = 1時(shí)上式也成立，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n-1（）． 8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分
要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． 11分
當(dāng)λ = 0時(shí)，，且．
當(dāng)n≥2時(shí)，，
整理，得，， 13分
從而，
化簡，得，所以 15分
綜上所述，（），
所以λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列． 16分
考點(diǎn)：已知求