在自然數(shù)集N上定義一個(gè)函數(shù)y=f(x),已知f(1)+f(2)=5.當(dāng)x為奇數(shù)時(shí),f(x+1)-f(x)=1,當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)f(x+1)-f(x)=3.
(1)求證:f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N+)成等差數(shù)列.
(2)求f(x)的解析式.
(1)由
f(1)+f(2)=5
f(2)-f(1)=1
,解得f(1)=2,f(2)=3.
所以f(2n+1)-f(2n-1)=[f(2n+1)-f(2n)]+[f(2n)-f(2n-1)]=3+1=4,
所以f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N+)成等差數(shù)列,公差為4.
(2)當(dāng)x為奇數(shù)時(shí),f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=
(x-1)•4
2
+2=2x
,
當(dāng)x為偶數(shù)時(shí),f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=
1
2
•1+
x-2
2
•3+2=2x-1

所以f(x)=
2x,x為奇數(shù)
2x-1,x為偶數(shù)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年海淀區(qū)期中理)(13分)

已知函數(shù),把函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,且是偶函數(shù).

   (Ⅰ) 求的值;

   (Ⅱ) 設(shè)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5
,則a=______,b=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)=0,
xf(x)-f(x)
x2
>0(x>0)
,則不等式x2f(x)>0的解集是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:廣東模擬 題型:單選題

已知a>0,b>0,函數(shù)f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函數(shù),則f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為(  )
A.16B.8C.4D.2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:即墨市模擬 題型:填空題

f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),f(1)<0,f(2012)=
a-1
a
,則a的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-cosx,當(dāng)x<0時(shí),f(x)的表達(dá)式為( 。
A.x3+cosxB.-x3+cosxC.-x3-cosxD.x3-cosx

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)f(x)和g(x)都是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),不等式f(x)>0的解集為(m,n),不等式g(x)>0的解集為(
m
2
,),其中0<m<
n
2
,則不等式f(x)•g(x)>0的解集是( 。
A.(m,
n
2
B.(m,
n
2
)∪(-
n
2
,-m)
C.(
m
2
,
n
2
)∪(-n,-m)
D.(
m
2
,
n
2
)∪(-
n
2
,-
m
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:福建省期中題 題型:填空題

奇函數(shù)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)且最大值為8, 則函數(shù)在區(qū)間[-6,-3]上的最小值為(    )。

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同步練習(xí)冊(cè)答案