Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（文）（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，試問X軸上是否存在定點P，使PF平分∠APB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，由△MNF為正三角形解得b=

3

，a²=b²+1=4，由此可求橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，
因為△MNF為正三角形
所以|OF|=

3

2

|MN|，即1=

3

2

•

2

3

，
解得b=

3

，a²=b²+1=4，
因此，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+1．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△＞0，y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以k_PA+k_PB=0．
設(shè)P（a，0），則有kPA=

y1

x1-a

，kPB=

y2

x2-a

，

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，
將x₁=my₁+1，x₂=my₂+2代入上式，
整理得

2my1y2+(1-a)(y1+y2)

(my1+1-a)(my2+1-a)

，
所以 2my₁y₂+（1-a）（y₁+y₂）=0．
將y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

代入上式，整理得（6a-24）•m=0．
由于上式對任意實數(shù)m都成立，所以a=4．
綜上，存在定點P（4，0），使PM平分∠APB．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查存在性問題的探究，屬于中檔題．