國際上鉆石的重量計量單位為克拉.已知某種鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元.
(Ⅰ)寫出鉆石的價值y關于鉆石重量x的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石,若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉,試證明:當m=n時,價值損失的百分率最大.
(注:價值損失的百分率=
原有價值-現(xiàn)有價值原有價值
×100%
;在切割過程中的重量損耗忽略不計)
分析:(Ⅰ)設價值與重量的關系式為y=kx2;3克拉的鉆石價值是54000美元,代入上式,可得k的值,從而得函數(shù)關系式.
(Ⅱ)兩顆鉆石的重量為m、n克拉,原有價值是6000(m+n)2,現(xiàn)有價值是6000m2+6000n2;價值損失的百分率為:
6000(m+n)2-6000m2-6000n2
6000(m+n)2
×100%
,化簡整理,得其最大值,即鉆石價值損失的最大百分率.
解答:解:(Ⅰ)由題意,可設價值與重量的關系式為y=kx2;
∵3克拉的鉆石價值是54000美元,∴54000=k•32,解得:k=6000,∴y=6000•x2;
所以,此鉆石的價值與重量的函數(shù)關系式為y=6000•x2
(Ⅱ)若兩顆鉆石的重量為m、n克拉,則原有價值是6000(m+n)2,
現(xiàn)有價值是6000m2+6000n2;價值損失的百分率為:
6000(m+n)2-6000m2-6000n2
6000(m+n)2
×100%
=
2mn
(m+n)2
×100%≤
(
m+n
2
)
2
(m+n)2
=
1
2
,當且僅當m=n時取等號;
所以,當m=n時,鉆石價值損失的百分率最大.
點評:本題考查了正比例函數(shù)模型的應用,和基本不等式變形為(
a+b
2
)
2
≥ab(其中a>0,b>0)的應用,是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

國際上鉆石的重量計量單位為克拉.已知某鉆石的價值V(美元)與其重量W(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.
(1)寫出V關于W的函數(shù)關系式;
(2)若把一顆鉆石切割成重量比為1:3的兩顆鉆石,求價值損失的百分率;
(3)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石,若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉,試用你所學的數(shù)學知識證明:當M=N時,價值損失的百分率最大.(注:價值損失的百分率=
原有價值-現(xiàn)有價值原有價值
×100
%;在切割過程中的重量損耗忽略不計).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

國際上鉆石的重量計量單位為克拉.已知某種鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元.
(Ⅰ)寫出鉆石的價值y關于鉆石重量x的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)若把一顆鉆石切割成重量比為1:3的兩顆鉆石,求價值損失的百分率.
(注:價值損失的百分率=
原有價值-現(xiàn)有價值原有價值
×100%
;在切割過程中的重量損耗忽略不計)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

國際上鉆石的重量計量單位為克拉,已知某種鉆石的價值v(美元)與其重量w(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.
(I)寫出v關于w的函數(shù)關系式;
(II)若把一顆鉆石切割成重量比為1:x(x≥1)的兩顆鉆石,價值損失的百分率為y,寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(III)試證明:把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時,按重量比為1:1切割,價值損失的百分率最大.
(注:價值損失的百分率=
原有價值-現(xiàn)有價值原有價值
×100%,在切割過程中的重量損耗忽略不計)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

國際上鉆石的重量計量單位為克拉,已知某鉆石的價值y(美元)與其重量x(克拉)的平方成正比,若一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.
(1)求y關于x的函數(shù)關系式;
(2)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時,鉆石的總價值(不計切割時的損耗),現(xiàn)在將一顆鉆石按重量比1:3切割成兩顆鉆石,求價值損失的百分比p.

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