Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且a₂=2，S₅=15，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

bn(n∈N+)，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式S_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和公式T_n；
（3）記集合M={n|

2Sn(2-Tn)

n+2

≥λ，n∈N+}，若M的子集個(gè)數(shù)為16，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）由題意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，利用“疊乘法”可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出T_n；
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，研究數(shù)列f(n)=

n2+n

2n

的單調(diào)性，可得n≥3時(shí)，f（n）單調(diào)遞減．由于集合M的子集個(gè)數(shù)為16，可得M中的元素個(gè)數(shù)為4，不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的個(gè)數(shù)為4，解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意得

a1+d=2 5a1+10d=15

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=n，
∴Sn=

n2+n

2

．
（2）由題意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，
疊乘得bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•…•

b2

b1

•b1=(

1

2

)n(

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

)=

n

2n

．
由題意得Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
②-①得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1--

n+2

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，
則f（1）=1，f(2)=

3

2

，f(3)=

3

2

，f(4)=

5

4

，f(5)=

15

16

．
下面研究數(shù)列f(n)=

n2+n

2n

的單調(diào)性，
∵f(n+1)-f(n)=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
∴n≥3時(shí)，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）單調(diào)遞減．
∵集合M的子集個(gè)數(shù)為16，
∴M中的元素個(gè)數(shù)為4，
∴不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的個(gè)數(shù)為4，
∴

15

16

＜λ≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“疊乘法”、“錯(cuò)位相減法”、數(shù)列的單調(diào)性、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．