Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出圓心坐標(biāo)和半徑大��；
（2）是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出直線m的方程； 若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心坐標(biāo)（1，-2）和半徑．
（2）假設(shè)直線m：y=x+b，代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因?yàn)橹本�與圓相交，從而b²+6b-11＜0，由此能求出直線方程．

解答： 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+2）²=9，
圓心坐標(biāo)（1，-2），半徑為3…（3分）
（2）假設(shè)直線m：y=x+b，
代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因?yàn)橹本�與圓相交，
所以b²+6b-11＜0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-b-1 ，  x1x2=

b2+4b-4

2

，…（4分）
由OA，OB垂直，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
∴（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，
均滿足b²+6b-11＜0，
所求直線存在y=x-4或y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓心坐標(biāo)和半徑的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．