如圖,P―ABC中,D是AC的中點(diǎn),PA=PB=PC=
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P―AB―C的大;
(3)求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.
方法一:(1)證明:連結(jié)BD,∵D分別是AC的中點(diǎn),PA=PC=
∴PD⊥AC,∵AC=2,AB=,BC=
∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,即AB⊥BC.
∴BD=,
∵PD2=PA2―AD2=3,PB
∴PD2+BD2=PB2,∴PD⊥BD,
∵ACBD=D , ∴PD⊥平面ABC.
(2)解:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、PE,由E為AB的中點(diǎn)知DE//BC,
∵AB⊥BC,
∴AB⊥DE,
∵DE是直線PE的底面ABC上的射景
∴PE⊥AB
∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角,
在△PED中,DE=∠=90°,
∴tan∠PDE=
∴二面角P―AB―C的大小是
(3)解:設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h.
∵VP―EBC=VE―PBC,
∴
在△PBC中,PB=PC=,BC=
而PD=
∴
∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為
方法二:
(1)同方法一:
(2)解:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,以D為
原點(diǎn),DE為x軸,DF為y軸,DP為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則D(0,0,0),P(0,0,),E(),B=()
設(shè)上平面PAB的一個(gè)法向量,
則由
這時(shí),
顯然,是平面ABC的一個(gè)法向量.
∴
∴二面角P―AB―C的大小是
(3)解:
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量,
由
得
令是平面PBC的一個(gè)法向量
又
∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
OP |
OQ |
OR |
AM |
AE |
AF |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
A、銳角三角形 | B、直角三角形 | C、鈍角三角形 | D、正三角形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年福州質(zhì)檢理)(12分)
如圖,P―ABC中,D是AC的中點(diǎn),PA=PB=PC=
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P―AB―C的大小;
(3)求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,P―ABC中,D是AC的中點(diǎn),PA=PB=PC=
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P―AB―C的大;
(3)求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.
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