Question

已知橢圓C：，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左，右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)A在橢圓C上，，，過F₂與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在線段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在焦點(diǎn)三角形F₁AF₂中，由，可得頂角A的余弦值，由橢圓定義及離心率為，，即可將三邊都用a表示，最后利用余弦定理列方程即可解得a值，進(jìn)而得橢圓C的方程
（2）先設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)及直線l的方程，代入橢圓方程，得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得交點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)的和與積，再由存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形，知，將坐標(biāo)代入后可得m關(guān)于k的函數(shù)，求其值域，看是否符合題意即可
解答：解：（1）由已知，∴2c=a，即|F₁F₂|=a
∵，∴
又∵，
∴，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得，
即a²-4a+4=0
∴a=2
∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1）滿足條件，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立：，
∵直線l過焦點(diǎn)，∴△＞0
∴，
∵線段MP，MQ為鄰邊的四邊形是菱形
∴
∵，，
，
，
∴，
∵x₂-x₁≠0，k=
∴x₂+x₁-2m+k（y₂+y₁）=0，
∵y₂+y₁=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₂+x₁）-2k
∴x₂+x₁-2m+k²（x₂+x₁-2）=0，
∴，
∴，
∴，
又∵M(jìn)（m，0）在線段OF₂上，則0＜m＜1，
故存在滿足題意．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，特別是直線與橢圓相交時(shí)利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求的技巧解決問題的能力