Question

20．f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x十2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)．f（x）=x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）求函數(shù)f（x）在-1≤x≤0時(shí)的表達(dá)式；
（3）求f（6.5）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x+2）=-f（x）便可得到f（x）=f（x+4），從而得出該函數(shù)的周期為4；
（2）可設(shè)-1≤x≤0，從而有0≤-x≤1，這樣可求出f（-x），根據(jù)f（x）為奇函數(shù)從而得出-1≤x≤0時(shí)的f（x）解析式；
（3）根據(jù)f（x）的周期為4，和條件f（x+2）=-f（x）將6.5變到區(qū)間[0，1]上求函數(shù)值即可．

解答 解：（1）f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
即f（x）=f（x+4）；
∴f（x）的周期為4；
（2）設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1；
∴f（-x）=x²-x=-f（x）；
∴f（x）=-x²+x；
即-1≤x≤0時(shí)，f（x）=-x²+x；
（3）f（6.5）=f（2.5+4）=f（2.5）=f（0.5+2）=-f（0.5）=-0.75．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)周期的定義，對(duì)于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的函數(shù)解析式，從而求其對(duì)稱區(qū)間上的解析式的方法，將自變量的值變到知道解析式的f（x）對(duì)應(yīng)的區(qū)間上從而求函數(shù)值的方法．