Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|，x∈R
（1）求不等式|f（x）-2|≤5的解集；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不等式|f（x）-2|≤5，可得-7≤2x+1≤7，由此求得它的解集．
（2）由題意可得|2x+1|+|2x-1|+m≠0 恒成立．利用絕對(duì)值三角不等式可得|2x+1|+|2x-1|≥2，可得m的范圍．

解答 解：（1）由不等式|f（x）-2|≤5，可得-5≤f（x）-2≤5，-3≤f（x）≤7，即|2x+1|≤7，
即-7≤2x+1≤7，即-4≤x≤3，故不等式|f（x）-2|≤5的解集為[-4，3]．
（2）由g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$=$\frac{1}{|2x+1|+|2x-1|+m}$ 的定義域?yàn)镽，
對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有|2x+1|+|2x-1|+m≠0 恒成立． 
因?yàn)閨2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-（2x-1）|=2，所以m＞-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．