Question

已知f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x）的極大值大于-

1

2

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數根．g′（x）=

1

x

-2a．當a≤0時，直接驗證；當a＞0時，利用導數研究函數g（x）的單調性可得：當x=

1

2a

，函數g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個不同解，只需要g（

1

2a

）＞0，解得即可；
（Ⅱ）設函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點為x₁，x₂，且0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．求出f（x₁）和f（x₂），化簡并運用不等式的性質，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數根．
g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實數根，應舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

，此時函數g（x）單調遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

2a

，此時函數g（x）單調遞減．
∴當x=

1

2a

時，函數g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數根，則g（

1

2a

）=ln

1

2a

＞0，解得0＜a＜

1

2

．
∴實數a的取值范圍是（0，

1

2

）；
（Ⅱ）證明：設函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
∵0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜x₁（-ax₁）=-ax₁²＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×（a×

1

2a

-1）=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故f（x）的極大值大于-

1

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性和極值，考查了等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．