Question

已知直線l：y=4x和點(diǎn)P（6，4），點(diǎn)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)且在直線l上，直線PA交x軸正半軸于點(diǎn)B，
（1）當(dāng)OP⊥AB時，求AB所在直線的直線方程；
（2）求△OAB面積的最小值，并求當(dāng)△OAB面積取最小值時的B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）由垂直關(guān)系可得k_AB=-

3

2

，由AB過點(diǎn)P（6，4）可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式可得；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，可得△OAB面積為S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0，由判別式△=S²-40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此時的方程可得B坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（6，4），∴k_OP=

2

3

，
∵OP⊥AB，∴k_AB=-

3

2

，
∵AB過點(diǎn)P（6，4），
∴AB的方程為y-4=-

3

2

（x-6）
化為一般式可得：3x+2y-26=0
（2）設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，
則直線PA的斜率為

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得b=

5a

a-1

，故B的坐標(biāo)為（

5a

a-1

，0），
故△OAB面積為S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0．
由題意可得方程10a²-Sa+S=0有解，故判別式△=S²-40S≥0，S≥40，
故S的最小值等于40，此時方程為a²-4a=4=0，解得a=2．
綜上可得，△OAB面積的最小值為40，
當(dāng)△OAB面積取最小值時點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0）．

點(diǎn)評：本題考查直線的一般式方程的應(yīng)用，直線的斜率公式，一元二次方程有解的條件，屬基礎(chǔ)題．