Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n．
（1）求數(shù)列{a_n的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=

an

3n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得，當(dāng)n=1時(shí)a₁=s₁=-1，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=s_n-s_n-1=2n-3，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立即可；
（2）由（1）和題意求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1-2=-1…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=n²-2n-[（n-1）²-2（n-1）]=2n-3…（4分）
又a₁=-1=2-3，也符合上式，…（5分）
因此，a_n=2n-3…（6分）
（2）由（1）得，b_n=

an

3n

=

2n-3

3n

，
所以T_n=-1×

1

3

+1×

1

32

+3×

1

33

+…+(2n-3)×

1

3n

   ①，

1

3

T_n=-1×

1

32

+1×

1

33

+3×

1

34

+…+(2n-3)×

1

3n+1

  ②，
①-②得，

2

3

T_n=-

1

3

+2（

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

）-(2n-3)×

1

3n+1

=-

1

3

+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-3)×

1

3n+1

=-

2n

3n+1

所以T_n=-

n

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列a_n和S_n的關(guān)系式的應(yīng)用，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．