Question

設f（x）和g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，x₁、x₂是R上任意兩個不等的實根，設|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且y=f（x）為奇函數(shù)，判斷函數(shù)y=g（x）的奇偶性并說明理由．

Answer 1

分析：由y=f（x）為奇函數(shù)，令x₁=x，x₂=-x代入不等式可求得g（x）+g（-x）=0，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可作出判斷．

解答：解：函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，以下證明：
令x₁=x，x₂=-x，
則|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|即為|f（x）+f（-x）|≥|g（x）+g（-x）|，
又由已知y=f（x）為奇函數(shù)，故f（x）+f（-x）=0，
所以|g（x）+g（-x）|≤0，可知g（x）+g（-x）=0對任意的x都成立，
又g（x）是定義在R上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，
所以y=g（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其判斷，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是充分利用y=f（x）的奇偶性給不等式恰當賦值．