設f′（x）和g′（x）分別是f（x）和g（x）的導函數(shù)，若f′（x）g′（x）≤0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性相反．若函數(shù)f（x）=
1
3
x3-2ax與g（x）=x2+2bx在開區(qū)間（a，b）上單調(diào)性相反（a＞0），則b-a的最大值為
1
2
1
2
．
分析：由條件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，從而求出a、b的取值范圍，建立b-a的表達式，求出最大值．
解答：解：∵f（x）=
1
3
x3-2ax，g（x）=x2+2bx，
∴f′（x）=x2-2a，g′（x）=2x+2b；
由題意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x2-2a≤0恒成立，即-
2a
≤x≤
2a
；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤
2a
，
即0＜a≤
2a
，解得0＜a≤2；
∴b-a≤
2a
-a=-(
a
-
2
2
)2+
1
2
，
當a=
1
2
時，取“=”，
∴b-a的最大值為
1
2
．
故答案為：
1
2
．
點評：本題考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法問題，是易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、設f（x）和g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，設f（x）=x2-3x+4與g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函數(shù)”，則它的“密切區(qū)間”可以是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）和g（x）都是定義域為R的奇函數(shù)，不等式f（x）＞0的解集為（m，n），不等式g（x）＞0的解集為（
m
2
，），其中0＜m＜
n
2
，則不等式f（x）•g（x）＞0的解集是（　�。�
A、（m，
n
2
）
B、（m，
n
2
）∪（-
n
2
，-m）
C、（
m
2
，
n
2
）∪（-n，-m）
D、（
m
2
，
n
2
）∪（-
n
2
，-
m
2
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）和g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，x1、x2是R上任意兩個不等的實根，設|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且y=f（x）為奇函數(shù)，判斷函數(shù)y=g（x）的奇偶性并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省聊城三中高三（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

設f（x）和g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，設f（x）=x2-3x+4與g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函數(shù)”，則它的“密切區(qū)間”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

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