(1)已知(x
x
+
2
3x
)
n
展開式中前3項系數(shù)的和為129,這個展開式中是否含有常數(shù)項和一次項?如果沒有,請說明理由;如有,請求出來.
(2)設an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an

①用q和n表示An;
②求證:當q充分接近于1時,
An
2n
充分接近于
n
2
分析:(1)先求得展開式的通項公式,根據(jù)展開式中前3項系數(shù)的和為129,求得n的值,令x的冪指數(shù)等于零,自然數(shù)r無解,可得展開式中無常數(shù)項.令x的冪指數(shù)等于1,解得自然數(shù)r=6,由此可得展開式的一次項.
(2)①先求得 an=1+q+q2+…+qn-1=
1-qn
1-q
,可得An =
1
1-q
[(Cn1+Cn2+…+Cnn)-(Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn)],再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)化簡為
1
1-q
[2n-(1+q)n].
②由①求得
An
2n
=
1
1-q
[1-(1-
1-q
2
)n]
,當q充分接近于1時,
1-q
2
接近于0,由二項式定理知(1-
1-q
2
)n
充分接近于1-n(
1-q
2
)
,可得
1
1-q
[1-(1-
1-q
2
)
n
]
充分接近
n
2
,命題得證.
解答:解:(1)二項式(x
x
+
2
3x
)
n
的展開式的通項公式為 Tr+1=
C
r
n
x
3(n-r)
2
•2rx-
r
3
=2r •
r
n
x
9n-11r
6
,
展開式中前3項系數(shù)的和為 20 •
0
n
+21 •
1
n
+22 •
2
n
=129,解得n=8.
故通項公式為 Tr+1=2r •
r
8
x
72-11r
6
,令
72-11r
6
=0,自然數(shù)r無解,故展開式中沒有常數(shù)項.
72-11r
6
=1,解得自然數(shù)r=6,故有一次項,且一次項為1792x.
(2)①因為q≠1,所以,an=1+q+q2+…+qn-1=
1-qn
1-q

于是,An=
1-q 
1-q
C
1
n
+
1-q2
1-q
C
2
n
+…+
1-qn
1-q
 Cnn =
1
1-q
[(Cn1+Cn2+…+Cnn)-(Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn)]
=
1
1-q
{(2n-1)-[(1+q)n-1]}=
1
1-q
[2n-(1+q)n].
②∵An=
1
1-q
[2n-(1+q)n]
,∴
An
2n
=
1
1-q
[1-(1-
1-q
2
)n]
,
當q充分接近于1時,
1-q
2
接近于0,由二項式定理知(1-
1-q
2
)n
充分接近于1-n(
1-q
2
)

所以[1-(1-
1-q
2
)
n
]
充分接近n(
1-q
2
)
,故
1
1-q
[1-(1-
1-q
2
)
n
]
充分接近
n
2
,命題得證.
點評:本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,求展開式中某項的系數(shù),二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知(x
x
+
2
3x
)n
的展開式前3項的系數(shù)的和是129.
(1)求這個展開式中x的一次方的系數(shù);
(2)這個展開式中是否含有常數(shù)項?若有,求出該項;若沒有,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法:
設A=[0,1],若不等式21-x-a>0在A上有解,求實數(shù)a的取值范圍.
解:由已知可得  a<21-x
令f(x)=21-x,不等式a<21-x在A上有解,
∴a<f(x)在A上的最大值
又f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=2
∴a<2即為所求.
學習以上問題的解法,解決下面的問題:
(1)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+3 (-2≤x≤-1)求f(x)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域A;
(2)對于(1)中的A,設g(x)=
10-x
10+x
x∈A,試判斷g(x)的單調(diào)性;(不證)
(3)又若B={x|
10-x
10+x
>2x+a-5},若A∩B≠Φ,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知(x
x
+
2
3x
)n
的展開式中,前三項的二項式系數(shù)之和為37.
(1)求x的整數(shù)次冪的項;
(2)分別求出展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知(x
x
+
2
3x
)
n
展開式中前3項系數(shù)的和為129,這個展開式中是否含有常數(shù)項和一次項?如果沒有,請說明理由;如有,請求出來.
(2)設an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=
C1n
a1+
C2n
a2+…+
Cnn
an

①用q和n表示An
②求證:當q充分接近于1時,
An
2n
充分接近于
n
2

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