Question

給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使得sinα•cosα=1成立；
②存在實(shí)數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

成立；
③y=sin（

5π

2

-2x）是偶函數(shù)；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對(duì)稱(chēng)軸；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．
其中正確命題的序號(hào)有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由于sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，即可判斷；②由于sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，即可判斷；
③由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)為偶函數(shù)，即可判斷；
④代入x=

π

8

，計(jì)算是否為最值，即可判斷是否為對(duì)稱(chēng)軸；
⑤可取特殊值，比如α=

9π

4

，β=

π

4

，即可判斷．

解答： 解：①由于sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，故不存在實(shí)數(shù)α，使得sinα•cosα=1成立，故①錯(cuò)；
②由于sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，則不存在實(shí)數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

成立，故②錯(cuò)；
③y=sin（

5π

2

-2x）即y=cos2x是偶函數(shù)，故③對(duì)；
④當(dāng)x=

π

8

時(shí)，y=sin（2×

π

8

+

5π

4

）=-1為最小值，故x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對(duì)稱(chēng)軸，故④對(duì)；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，比如α=

9π

4

，β=

π

4

，則tanα=tanβ=1，故⑤錯(cuò)．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，同時(shí)考查二倍角公式和兩角和差公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．