Question

11．如圖：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱垂直與底面，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （ I）過(guò)B作CD的垂線交CD于F，利用勾股定理證明BE⊥BC，再根據(jù)BE⊥BB₁，且BB₁∩BC=B，利用直線和平面垂直的判定定理證得BE⊥平面BB₁C₁C．
（ II）由條件利用等體積法求得點(diǎn)B₁到平面EA₁C₁的距離．

解答 解：（ I）證明：過(guò)B作CD的垂線交CD于F，
則BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB-DE=1，F(xiàn)C=2．
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{3}$，在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{6}$．
在△BCE中，因?yàn)锽E²+BC²=9=EC²，所以BE⊥BC．
由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，又BB₁∩BC=B，所以BE⊥平面BB₁C₁C．
（ II）三棱錐E-A₁B₁C₁ 的體積V=$\frac{1}{3}$AA₁•${S}_{{{{△A}_{1}B}_{1}C}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△A₁C₁D₁中，A₁C₁=$\sqrt{{{{A}_{1}D}_{1}}^{2}{{{+D}_{1}C}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
同理，EC₁=$\sqrt{{EC}^{2}{{+CC}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，EA₁=$\sqrt{{AD}^{2}{+ED}^{2}{{+AA}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
因此 ${S}_{{{△A}_{1}C}_{1}E}$=3$\sqrt{5}$．
設(shè)點(diǎn)B₁ 到平面EA₁C₁的距離為d，則三棱錐B₁-EA₁C₁ 的體積 V=$\frac{1}{3}$•d•${S}_{{{△A}_{1}C}_{1}E}$=$\sqrt{5}$d，
從而 $\sqrt{5}$d=$\sqrt{2}$，d=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．