Question

（12分）已知橢圓=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．求證：為定值．

 

Answer 1

（Ⅰ）．

（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)求出a、b的值，從而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)M（2，y0），寫出直線CM的方程，并把它代入橢圓的方程，可求P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量OM、OP的坐標(biāo)，計(jì)算這2個(gè)向量坐標(biāo)的數(shù)量積，得出定值．

【解析】
（1）∵左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形，

∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴橢圓方程為．（4分）

（2）C（﹣2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y0），P（x1，y1），

則．

直線CM：y﹣0=（x+2），即 ．（6分）

代入橢圓x2+2y2=4，得，故次方程的兩個(gè)根分別為﹣2和x1，（8分）

由韋達(dá)定理可得x1﹣2=，∴，∴．

∴，（10分）

∴+==4 （定值）．（12分）