Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB與y軸交于點(diǎn)F（0，），直線AB的斜率為k，且滿足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，一定存在以y軸為對(duì)稱軸且經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線C，并求出拋物線C的方程；
（2）對(duì)（1）中的拋物線C，若直線l：y=x+m（m＞0）與其交于M、N兩點(diǎn)，求∠MON的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知設(shè)l_AB：y=kx+①
又設(shè)拋物線C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx-=0
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，則x_A•x_B=-
由弦長(zhǎng)公式得

∴|AF|•|BF|=（1+k²）×||
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即拋物線方程為C：x²=2y

（2）設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
則x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
，
不妨設(shè)x_M＜x_N，由于m＞0，則x_M＜0＜x_N
令，則ON到OM的角為θ，且滿足
tanθ=
令，則，t＞1且t≠
∴tanθ=
函數(shù)y=x與在（0，+∞）上皆為增函數(shù)
∴t-∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴∈（-∞，-1）∪（0，+∞）
則θ∈（0，）∪（，），又m=2時(shí)，∠MON=θ=
∴∠MON∈（0，）
分析：（1）設(shè)出直線AB和拋物線C的方程并聯(lián)立消y，在利用弦長(zhǎng)公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出拋物線C的方程；
（2）先把直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立消y，求出M、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再求出直線ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函數(shù)的思想求出∠MON的正切值的范圍，進(jìn)而求出∠MON的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用問(wèn)題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．