Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，AA₁=4，D是棱AA₁的中點(diǎn)．
（1）證明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）求三棱錐C₁-BCD外接球與三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得BC⊥AC，又側(cè)面垂直底面，BC⊥側(cè)面A₁ACC₁，從而C₁D⊥BC，由此能證明平面BDC₁⊥平面BDC．
（2）由（1）知，∠C₁DB=90°，∠C₁CB=90°，C₁B是三棱錐C₁-BCD外接球的直徑，且C1B=4

2

，AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的直徑，且AB₁=6，由此能求出三棱錐C₁-BCD外接球與三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的體積之比．

解答： （1）證明：底面ACB中，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又側(cè)面垂直底面，
則BC⊥側(cè)面A₁ACC₁，C₁D?側(cè)面A₁ACC₁，則C₁D⊥BC，
側(cè)面A₁ACC₁中，AD=AC=2，∴CD=2

2

，
又CC₁=4，∴C1C2=C1D2+CD2，∴C₁D⊥CD，
則C₁D⊥面BCD，C₁D?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC．
（2）解：由（1）知，∠C₁DB=90°，∠C₁CB=90°，
∴C₁B是三棱錐C₁-BCD外接球的直徑，且C1B=4

2

，
由題意得AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的直徑，且AB₁=6，
∴三棱錐C₁-BCD外接球與三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的體積之比為：

V1

V2

=（

4 2

6

）³=

16 2

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面BDC₁⊥平面BDC的證明，考查三棱錐C₁-BCD外接球與三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的體積之比的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．