Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g(x)=-x2+2bx+3．當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，若對(duì)任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），求實(shí)數(shù)b取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，由此能推導(dǎo)出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=

1

3

，欲使f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

，由此能求出實(shí)數(shù)b取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x2=-

a+1

2a

，
∵x＞0，∴x=

- a+1 2a

，
當(dāng)x∈（0，

- a+1 2a

）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（

- a+1 2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)遞增；在（

- a+1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=

1

3

，
欲使符合條件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

2

3

成立，
則由2bx≥x2-

7

3

，得到2b≥x-

7

3x

，
∵x-

7

3x

在[1，2]上有最小值-

4

3

，
因此2b≥-

4

3

，故b≥-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．