Question

9．已知f（x）=$\frac{{2}^{1+x}+{2}^{1-x}+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$的最大值和最小值分別是M和m，則M+m=4．

Answer 1

分析 化簡f（x），再設(shè)g（x）=$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，（-1≤x≤1），判斷g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互為相反數(shù)，即可得到所求最值之和．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{1+x}+{2}^{1-x}+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$
=$\frac{2（{2}^{x}+{2}^{-x}）+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=2+$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，（-1≤x≤1），
g（-x）=$\frac{arcsin（-x）}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=-g（x），
即g（x）為奇函數(shù)，
可設(shè)g（x）的最大值為t，則最小值為-t，
可得M=t+2，m=-t+2，
即有M+m=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．