Question

設方程2lnx=7-2x的解為x₀，則關于x的不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的最大整數(shù)解為（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）=2lnx-（7-2x）（x＞0）的最大零點，再利用零點存在定理找出函數(shù)f（x）的零點存在范圍，再利用一元二次不等式解法可得不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的解集，即可得出．

解答： 解：由于求關于x的不等式（x+1）（x-3-x₀）＜0的最大整數(shù)解．
令f（x）=2lnx-（7-2x）（x＞0），因此求f（x）=0的最大零點即可．
f′（x）=

2

x

-2=

2(1-x)

x

．
∴當x＞1時，函數(shù)f（x）單調遞減．
則f（3）=2ln3-1＞0，f（2）=2ln2-3＜0．
∴f（x）=0的解x₀∈（2，3）．
由（x+1）（x-3-x₀）＜0，
∴-1＜x＜3+x₀．
∵（3+x₀）∈（5，6），
∴滿足-1＜x＜3+x₀的最大整數(shù)解為5．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、零點存在定理、一元二次不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．