Question

若對于定義在R上的函數f （x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數λ（λ∈R），使得對任意實數x都有 f （x+λ）+λf （x）=0成立，則稱f （x） 是一個“λ-伴隨函數”，有下列關于“λ-伴隨函數”的結論：
①f （x）=0 是常數函數中唯一個“λ-伴隨函數”；
②f （x）=x²是一個“λ-伴隨函數”；
③“

1

2

-伴隨函數”至少有一個零點；
④f（x）=log₂x是一個“λ-伴隨函數”
其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：設f（x）=C，得到（1+λ）C=0，當λ=-1時，C可以取遍實數集，由此可判斷①的正誤；假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷②的正誤；令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．由此可判斷③的正誤；由f（x）=log₂x的定義域不是R可判斷④的正誤．

解答：解：設f（x）=C是一個“λ-同伴函數”，則（1+λ）C=0，
當λ=-1時，C可以取遍實數集，
因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數”．故①錯誤；
用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，
則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，
所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數”．故②錯誤；
令x=0，得f（

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2

）+

1

2

f（0）=0．所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；
若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））2＜0．
又因為f（x）的函數圖象是連續(xù)不斷，
所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實數根．
因此任意的“

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2

-同伴函數”必有根，即任意“

1

2

-同伴函數”至少有一個零點，故③正確；
因為f（x）=log₂x的定義域不是R．故④錯誤．
故答案為：③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認真審題，注意新定義的合理運用．