Question

若函數(shù)f（x）=

x 1 2 ，0≤x＜1 - 3 2 x+ 5 2 ，1≤x≤ 5 3

的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為a，則（x-

a

x2

）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

 

（用數(shù)字作答）．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意根據(jù)定積分的幾何意義、求定積分可得a的值，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x 1 2 ，0≤x＜1 - 3 2 x+ 5 2 ，1≤x≤ 5 3

的圖象如圖所示：
函數(shù)f（x）的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為
a=

∫

1 0

x

1

2

dx+

1

2

•(

5

3

-1)•1=

2

3

•x

3

2

 

|

1 0

+

1

3

=1，
則（x-

a

x2

）⁶=（x-

1

x2

）⁶的展開式的通項(xiàng)公式
為T_r+1=

C

r 6

•（-1）^r•x^6-3r，
令6-3r=0，求得r=2，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

C

2 6

=15，
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查定積分的幾何意義、求定積分，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．