解:(1)①f'(x)=(3x
2-12x+3)e
x+(x
3-6x
2+3x+t)e
x=(x
3-3x
2-9x+t+3)e
x
∵f(x)有3個(gè)極值點(diǎn),
∴x
3-3x
2-9x+t+3=0有3個(gè)根a,b,c.
令g(x)=x
3-3x
2-9x+t+3,g'(x)=3x
2-6x-9=3(x+1)(x-3),
g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上遞增,(-1,3)上遞減.
∵g(x)有3個(gè)零點(diǎn)∴
∴-8<t<24.
②∵a,b,c是f(x)的三個(gè)極值點(diǎn),
∴x
3-3x
2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x
3-(a+b+c)x
2+(ab+bc+ac)x-abc
∴
∴b=1或-
(舍∵b∈(-1,3))
∴
∴t=8
(2)不等式f(x)≤x,即(x
3-6x
2+3x+t)e
x≤x,即t≤xe
-x-x
3+6x
2-3x.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],
不等式t≤xe
-x-x
3+6x
2-3x恒成立.
即不等式0≤xe
-x-x
3+6x
2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e
-x-x
2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立.
設(shè)φ(x)=e
-x-x
2+6x-3,則φ'(x)=-e
-x-2x+6.
設(shè)r(x)=φ'(x)=-e
-x-2x+6,則r'(x)=e
-x-2,因?yàn)?≤x≤m,有r'(x)<0.
故r(x)在區(qū)間[1,m]上是減函數(shù).
又r(1)=4-e
-1>0,r(2)=2-e
-2>0,r(3)=-e
-3<0
故存在x
0∈(2,3),使得r(x
0)=φ'(x
0)=0.
當(dāng)1≤x<x
0時(shí),有φ'(x)>0,當(dāng)x>x
0時(shí),有φ'(x)<0.
從而y=φ(x)在區(qū)間[1,x
0]上遞增,在區(qū)間[x
0,+∞)上遞減.
又φ(1)=e
-1+4>0,φ(2)=e
-2+5>0,φ(3)=e
-3+6>0,φ(4)=e
-4+5>0,φ(5)=e
-5+2>0,φ(6)=e
-6-3<0.
所以當(dāng)1≤x≤5時(shí),恒有φ(x)>0;
當(dāng)x≥6時(shí),恒有φ(x)<0;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5.
分析:(1)①根據(jù)極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的根,據(jù)方程的根是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性寫出滿足的不等式解出t的范圍,②將三個(gè)極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)得到方程,左右兩邊各項(xiàng)的對應(yīng)系數(shù)相等,列出方程組,解出t值.
(2)先將存在實(shí)數(shù)t∈[0,2],使不等式f(x)≤x恒成立轉(zhuǎn)化為將t看成自變量,f(x)的最小值)≤x;再構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值,求出m的范圍.
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的根、解決不等式恒成立常用的方法是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.