Question

下列函數(shù)中，在（0，

π

2

）上有零點的函數(shù)是（　�。�

• A．f（x）=sinx-x
• B．f（x）=sinx-

  2

  π

  x
• C．f（x）=sin²x-x
• D．f（x）=sin²x-

  2

  π

  x

Answer 1

分析：對選項中的函數(shù)分別進行求導(dǎo)，研究它們的極值和單調(diào)性進行分析，對于A：求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的符號知f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；對于B：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求出該函數(shù)的極值點x₁，分析函數(shù)的單調(diào)性f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x1，

π

2

）上單調(diào)遞減，對于C：求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的符號知f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；對于D：求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值點，分析函數(shù)的單調(diào)性，可知該選項正確．

解答：解：對于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于B：令f′（x）=cosx-

2

π

=0，得x₁=arccos

2

π

，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＞0，當(dāng)x1＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x1，

π

2

）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于D：令f′（x）=2sinxcosx-

2

π

=sin2x-

2

π

=0，得x₁=arcsin

2

π

，或x₂=π-arcsin

2

π

，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，當(dāng)x2＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，在（x2，

π

2

）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上有零點，故正確；
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查函數(shù)的零點的判定定理，和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．