【題目】如圖,已知點(diǎn)F為拋物線C:()的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí),.
(1)求拋物線C的方程.
(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)存在唯一的點(diǎn),使直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱
【解析】
(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°,則的斜率為1,則直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,根據(jù)焦點(diǎn)弦公式,求出的值,即可得到拋物線方程.
(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在,設(shè),當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)l的方程為(),聯(lián)立直線與拋物線方程,消元,列出韋達(dá)定理,因?yàn)橹本PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱,所以,即可求出的值. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),由拋物線的對(duì)稱性,易知PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱,此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可.
解:(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°,則的斜率為1,
,的方程為.
由得.
設(shè),,則,
∴,,
∴拋物線C的方程為.
(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在,設(shè),由(1)知,
①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)l的方程為(),
由得,
,
,.
∵直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴,,.
∴,
∴時(shí),此時(shí).
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),由拋物線的對(duì)稱性,
易知PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱,此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可.
綜上,存在唯一的點(diǎn),使直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱.
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【題目】四棱錐中,底面為矩形, .側(cè)面底面.
(1)證明: ;
(2)設(shè)與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象,給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)的表達(dá)式為;
②g(x)的一條對(duì)稱軸的方程可以為;
③對(duì)于實(shí)數(shù)m,恒有;
④f(x)+g(x)的最大值為2.其中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|x+1|,g(x)=|x﹣a|+|x+a|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>9;
(Ⅱ)x1∈R,x2∈R,使得f(x1)=g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷單價(jià)(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產(chǎn)品銷量(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知,.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知變量,具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(件)關(guān)于試銷單價(jià)(元)的線性回歸方程;
(Ⅲ)用表示用(Ⅱ)中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí),則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求“好數(shù)據(jù)”至少有一個(gè)的概率.
(參考公式:線性回歸方程中,的最小二乘估計(jì)分別為,)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
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【題目】已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),且,.
(1)求的解析式,并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若,且對(duì)任意的恒成立,求k的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)lnx+1(a∈R).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于直線y=4x+3,求a的值;
(2)令c(x)=f(x)+(3-a)lnx+2a,討論c(x)的單調(diào)性;
(3)a=1時(shí),函數(shù)y=f(x)圖象上的所有點(diǎn)都落在區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線的方程.
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