Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，（ ），若對(duì)任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得： ，

令f′(x)=0解得或.當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表所示：

x	0				1
f′(x)			0	+
f(x)		單調(diào)遞減	4	單調(diào)遞增	3

所以,當(dāng)時(shí),f(x)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f(x)是增函數(shù)。

當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)的值域是[4,3].

對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo),則g′(x)=3(x2a2).

因?yàn)?/span>a1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<3(1a2)0，

因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)為減函數(shù)，

從而當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有g(x)∈[g(1),g(0)]，

又g(1)=12a3a2,g(0)=2a，

即當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有g(x)∈[12a3a2,2a]，

任給x1∈[0,1],f(x1)∈[4,3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，

則[12a3a2,2a][4,3],即，

解①式得a1或a，

解②式得a，

又a1,故a的取值范圍內(nèi)是.