Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，設(shè)函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且滿足b_n=f（a_n），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和記為T_n．
（1）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及T_n；
（2）記c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式可得2a_n=a_n-1，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出，函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且滿足b_n=f（a_n），可得$_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n-1}$=n-1．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）先求出{c_n}的通項(xiàng)，分別求出前4項(xiàng)，再比較c_n-c_n-1值與0的關(guān)系，得到數(shù)列的單調(diào)性，問題得以解決．

解答 解：（1）∵S_n=2-a_n，
∴S_n-1=2-a_n-1，
兩式相減得a_n=-a_n+a_n-1，
即2a_n=a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-a₁，
解得：a₁=1，
故{a_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∵函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，且滿足b_n=f（a_n），
∴b_n=${log}_{\frac{1}{2}}$a_n=n-1，
∴{b_n}是以0為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴T_n=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$；
（2）∵c_n=a_n•b_n=$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴c₁=0，c₂=$\frac{1}{2}$，c₃=$\frac{1}{2}$，c₄=$\frac{3}{8}$
∴c_n-c_n-1=（n-1）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n-2）$\frac{1}{{2}^{n-2}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n-1}}$
當(dāng)n≤3時(shí)，c_n-c_n-1≥0，
當(dāng)n＞3時(shí)，c_n-c_n-1＜0，
故從第3項(xiàng)起，數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減，
故c_n的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．