Question

若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集,求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析:方法一:將數(shù)軸分為(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三個區(qū)間.?

當(dāng)x＜3時,得(3-x)+(4-x)＜a,即x＞有解條件為＜3,即a＞1；?

當(dāng)3≤x≤4時,得(3-x)+(4-x)＜a,即a＞1；?

當(dāng)x＞4時,得(x-3)+(x-4)＜a,即x＜有解條件為＞4,即a＞1.?

因此上述三種情況,任一個成立,即可滿足題意,故a的范圍應(yīng)是它們的并集,即a＞1.?

方法二:設(shè)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為P、A、B,

由絕對值的幾何意義,原不等式即求|PA|+|PB|＜a何時成立.?

因為|AB|=1,故數(shù)軸上任一點到A、B距離之和均大于等于1,即|x-3|+|x-4|≥1,故當(dāng)a＞1時,原不等式解集不是空集.