Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2，g（x）=ax+2
（1）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，求h（x）的最小值；
（3）定義：已知函數(shù)T（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數(shù)T（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質(zhì)．如果f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得函數(shù)M（x）=f（x）-g（x）=x²-2ax 在（1，2）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，故有M（1）M（2）=（1-2a）（4-4a）＜0，由此求得a的范圍．
（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）=

x2-ax+2，x≤0或x≥2a ax+2，0＜x＜2a

，分類討論求得h（x）的最小值為2．②當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）=

x2-ax+2，x≥0或x≤2a ax+2，2a＞x＞0

，同理求得h（x）的最小值為2．
③當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=x²+2≥2，∴h（x）的最小值為2．綜上可得結(jié)論．
（3）f（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其對(duì)稱軸為x=

a

2

，根據(jù)新定義，分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)恰有一解，即函數(shù)M（x）=f（x）-g（x）=x²-2ax 在（1，2）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
故有M（1）M（2）=（1-2a）（4-4a）＜0，求得

1

2

＜a＜1．
（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)h（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，即h（x）=

x2-ax+2，x≤0或x≥2a ax+2，0＜x＜2a

，故當(dāng)2a＞x＞0時(shí)，ax+2＞2；
當(dāng)x≤0時(shí)，x²-ax+2≥2；當(dāng)x≤2a時(shí)，x²-ax+2≥2a²+2＞2，
故h（x）的最小值為2．
②當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）=

x2-ax+2，x≥0或x≤2a ax+2，2a＞x＞0

，同理求得h（x）的最小值為2．
③當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=x²+2≥2，∴h（x）的最小值為2．
綜上可得，h（x）的最小值為2．
（3）f（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其對(duì)稱軸為x=

a

2

．
①當(dāng)

a

2

≤a，即a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）_min=f（a）=a²-a²+2=2．
若函數(shù)f（x）具有“DK”性質(zhì)，則有2≤a總成立，即a≥2．
②當(dāng)a＜

a

2

＜a+1，即-2＜a＜0時(shí)，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+2．
若函數(shù)f（x）具有“DK”性質(zhì)，則有-

a2

4

+2≤a總成立，解得a∈∅．
③當(dāng)

a

2

≥a+1，即a≤-2時(shí)，
函數(shù)f（x）的最小值為f（a+1）=a+3．
若函數(shù)f（x）具有“DK”性質(zhì)，則有a+3≤a，解得a∈∅．
綜上所述，若f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，則a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．