Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令函數(shù)g（x）=f（x）（1+x）²，數(shù)列{c_n}滿足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N⁺），求證：對(duì)于一切n≥2的正整數(shù)，都滿足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)以1為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），兩邊取倒數(shù)，再由錯(cuò)位相消法化簡(jiǎn)問(wèn)題論證即可．

解答： （Ⅰ）解：∵a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
∴an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)以1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=2+(n-1)=n+1
∴an=

1

n+1

（Ⅱ）證明：∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵c₁=

1

2

＞0，故c_n＞0，則

1

cn+1

=

1

cn

-

1

1+cn

，
即

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．
∴

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

=（

1

c1

-

1

c2

）+（

1

c2

-

1

c3

）+…+（

1

cn

-

1

cn+1

）=

1

c1

-

1

cn+1

=2-

1

cn+1

＜2
又

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

≥

1

1+c1

+

1

1+c2

=

26

21

＞1，
故1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式等的大型綜合題，情景新穎，具有較好的區(qū)分度，要求學(xué)生具有一定的審題、讀題能力，一定的等價(jià)變形能力，是一種比較常見(jiàn)的題型．