Question

已知：f（x）=acosx+bcos2x+1
（1）若g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0），將函數(shù)y=g（x）的圖象左移

π

12

個單位得函數(shù)y=h（x）的圖象，求函數(shù)y=h（x）的周期與單調(diào)增區(qū)間；
（2）若b≤0，對任意x均有f（x）≥0恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出 g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律求得函數(shù)h（x）的解析式，從而求出函數(shù)y=h（x）的周期與單調(diào)增區(qū)間．
（2）令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），則g（t）≥0，再分當(dāng)b=0、和當(dāng)b＜0兩種情況，分別求出a+b的最大值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-acosx+2（b＞0）=b•cos2x+3，將函數(shù)y=g（x）的圖象左移

π

12

個單位得函數(shù)y=bcos2（x+

π

12

）+3=bcos(2x+

π

6

)+3的圖象，
故h（x）=bcos(2x+

π

6

)+3（b＞0）．…1′
故函數(shù)y=h（x）的周期為π，由2kπ-π ≤2x+

π

6

≤ 2kπ，k∈z，可得kπ-

7

12

π≤x≤kπ-

π

12

，故單調(diào)增區(qū)間為(kπ-

7

12

π，kπ-

π

12

)，（k∈Z）．…6′
（2）因?yàn)閎≤0，對任意x恒有f（x）≥0成立，則2bcos²x+acosx+1-b≥0
令t=cosx∈[-1，1]，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]），則有g(shù)（t）≥0．…7′
當(dāng)b=0時，g（t）=at+1有g(shù)（1）≥0且g（-1）≥0，即-1≤a≤1，（a+b）_max=1；…9′
當(dāng)b＜0時，g（t）=2bt²+at+1-b（t∈[-1，1]）有：

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

2b-a+1-b≥0 2b+a+1-b≥0

，即-1≤a+b≤2b+1＜1，…11′
綜上可得：（a+b）_max=1．…12′

點(diǎn)評：本題主要考查余弦函數(shù)的增區(qū)間，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．